Формула Бейєса

Формула Бейєса застосовується для обчислення ймовiрностi того, що перед заданою подiєю вiдбулася та чи iнша подiя.

де P(B_i / A) — ймовiрнiсть того, що перед подiєю A вiдбулася саме подiя B_i, P(B_i) — iмовiрнiсть появи подiї Bi, P(A / B_i) — iмовiрнiсть настання подiї A пiсля подiї B_i. У знаменнику формула повної ймовiрностi .

Задача 1

У трьох однакових скриньках є кульки однакового розмiру. В однiй — 3 бiлих та
6 чорних, в iншiй — 4 бiлих та 4 чорних, а в останнiй — по 5 бiлих i чорних
кульок. Яка ймовiрнiсть того, що взята кулька з довiльно вибраної скриньки буде
бiлою? Яка ймовiрнiсть того, що ця кулька буде взята саме з третьої скриньки?

Розв’язання

1. Умовно занумеруємо скриньки в послiдовностi їх опису в умовi задачi №1; 2; 3 та позначимо кульки: б — бiлi, ч — чорнi.
2. Позначимо подiї:
   • A — взяли бiлу кульку;
   • B₁ — вибрали скриньку №1;
   • B₂ — вибрали скриньку №2;
   • B₃ — вибрали скриньку №3.
3. Склад подiй та простору елементарних подiй (ПЕП) для кожної з них: для
   • B₁,B₂, B₃ : E = {скр.№1; 2; 3}, l = 3;
   • B₁ = {скр.№1}, k₁ = 1;
   • B₂ = {скр.№2}, k₂ = 1;
   • B₃ = {скр.№3}, k₃ = 1;
   • для A/B₁ : E₁ = {3б; 6ч}, n₁ = 9; A ={3б}, m₁ = 3;
   • для A/B₂ : E₂ ={4б;4ч}, n₂ = 8; A ={4б}, m₂ = 4;
   • для A/B₃ : E₃ ={5б;5ч}, n₃ = 10; A ={5б}, m₃ = 5.

Ця задача на формулу повної ймовiрностi, оскiльки B₁, B₂, B₃  — несумiснi й утворюють повну групу подiй, а математична модель ситуацiї така:

A = B₁A + B₂A + B₃A

Вiдповiдь.4/9; 3/8.