Імовiрнiсть добутку подiй

Імовiрнiсть добутку двох незалежних подiй дорiвнює добутку ймовiрностей цих подiй

P(AB) = P(A) · P(B), де P(AB) — iмовiрнiсть добутку подiй A i B,  P(A) — iмовiрнiсть подiї A, P(B) — iмовiрнiсть подiї B.

Імовiрнiсть добутку двох подiй, одна з яких залежить вiд появи iншої подiї, дорiвнює добутку ймовiрностi першої подiї та умовної ймовiрностi другої подiї.

P(AB) = P(A) · P(B/A), де P(B/A) — iмовiрнiсть подiї B пiсля настання подiї A (умовна
ймовiрнiсть подiї B).

Задачі на імовірність добутку подій

Задача 1

В однiй коробцi 3 синiх i 5 червоних олiвцiв, а в iншiй — по 5 синiх i червоних олiвцiв. З кожної коробки беруть по одному олiвцю. Яка ймовiрнiсть того, що обидва олiвцi будуть синього кольору?

Розв’язання

Коробки умовно занумеруємо, олiвцi позначимо с, ч — синiй i червоний вiдповiдно. Позначимо подiї:

• A — взято синiй олiвець з коробки № 1;
• B — взято синiй олiвець з коробки № 2.

Склад заданих подiй та простору елементарних подiй (ПЕП) для
кожної з них:

• для подiї A: E₁ ={3с; 5ч} ⇒n₁ = 8; A = {3c} ⇒ m₁= 3;
• для подiї B: E₂ ={5с; 5ч} ⇒n₂ = 10; B = {5с} ⇒m₂ = 5.

A i B — незалежнi, адже настання подiї A не змiнює ПЕП для подiї B.

P(AB) = P(A) · P(B) = m₁/n₁ · m₂/n₂ = 3/8 · 5/10 = 3/16

Вiдповiдь. 3/16.

Задача 2

Із колоди, в якiй 36 гральних карт, навмання беруть одну за одною двi карти. Яка ймовiрнiсть того, що буде першою картою король а другою — валет?

Розв’язання

1. Мiж подiями «взяли першим короля», а «другим взяли валета», замiсть сполучника А можна поставити сполучник І. Отже, це задача на ймовiрнiсть добутку подiй.
2. Позначимо подiї:
   • C — iз колоди карт взяли першим короля;
   • D — iз колоди другим взяли валета.
3. Склад заданих подiй та простору елементарних подiй (ПЕП) для кожної з них:
   • для подiї C: E₁ ={36 карт} ⇒n₁ = 36; C = {4 королi} ⇒m₁ = 4;
   • для подiї D: E₂ ={35 карт} ⇒n₂ = 35; D ={4 валети} ⇒m₂ = 4.
   • Подiя D залежна вiд подiї C, оскiльки настання подiї C впливає на ПЕП для подiї D.
     P(CD) = P(C) · P(D/C) = m₁/n₁ · m₂/n₂ = 4/36· 4/35 = 4/315.

Вiдповiдь. 4/315.