Формула Бейєса

Формула Бейєса

Формула Бейєса застосовується для обчислення ймовiрностi того, що перед заданою подiєю вiдбулася та чи iнша подiя.

Формула Бейєса
де P(Bi / A) — ймовiрнiсть того, що перед подiєю A вiдбулася саме подiя Bi, P(Bi) — iмовiрнiсть появи подiї Bi, P(A / Bi) — iмовiрнiсть настання подiї A пiсля подiї Bi. У знаменнику формула повної ймовiрностi.

Задача 1

У трьох однакових скриньках є кульки однакового розмiру. В однiй — 3 бiлих та
6 чорних, в iншiй — 4 бiлих та 4 чорних, а в останнiй — по 5 бiлих i чорних
кульок. Яка ймовiрнiсть того, що взята кулька з довiльно вибраної скриньки буде
бiлою? Яка ймовiрнiсть того, що ця кулька буде взята саме з третьої скриньки?

Розв’язання

  1. Умовно занумеруємо скриньки в послiдовностi їх опису в умовi задачi №1; 2; 3 та позначимо кульки: б — бiлi, ч — чорнi.
  2. Позначимо подiї:
    • A — взяли бiлу кульку;
    • B1 — вибрали скриньку №1;
    • B2 — вибрали скриньку №2;
    • B3 — вибрали скриньку №3.
  3. Склад подiй та простору елементарних подiй (ПЕП) для кожної з них: для
    • B1,B2, B3 : E = {скр.№1; 2; 3}, l = 3;
    • B1 = {скр.№1}, k1 = 1;
    • B2 = {скр.№2}, k2 = 1;
    • B3 = {скр.№3}, k3 = 1;
    • для A/B1 : E1 = {3б; 6ч}, n1 = 9; A ={3б}, m1 = 3;
    • для A/B2 : E2 ={4б;4ч}, n2 = 8; A ={4б}, m2 = 4;
    • для A/B3 : E3 ={5б;5ч}, n3 = 10; A ={5б}, m3 = 5.

Ця задача на формулу повної ймовiрностi, оскiльки B1, B2, B3  — несумiснi й утворюють повну групу подiй, а математична модель ситуацiї така:

A = B1A + B2A + B3A

P(A)

P(B3/A)

Вiдповiдь.4/9; 3/8.