Імовiрнiсть суми подiй

Імовiрнiсть суми двох несумiсних подiй дорiвнює сумi ймовiрностей цих подiй:
P(A + B) = P(A) + P(B) , де P(A + B) — iмовiрнiсть суми подiй A i B, P(A) — iмовiрнiсть подiї A, P(B) — iмовiрнiсть подiї B.

Імовiрнiсть суми двох сумiсних подiй дорiвнює сумi ймовiрностей
цих подiй без iмовiрностi появи їх спiльних елементарних подiй:
P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A·B), де P(A + B) —iмовiрнiсть суми подiй A i B, P(A) — iмовiрнiсть подiї A, P(B) — iмовiрнiсть подiї B, P(A·B) — iмовiрнiсть ЕП спiльних для A i B.

Задачі на ймовірність суми двох подій

Задача 1

У скриньцi є однакового розмiру занумерованi кульки:

  • бiлi пiд номерами 1 – 4;
  • синi пiд номерами 5 – 7;
  • чорнi пiд номерами 8 –12.

Яка ймовiрнiсть того, що взята навмання кулька буде:
1) бiлою або синьою; 2) бiлою або пiд парним номером?

Розв’язання

  1. Можливi наслiдки дослiду (ПЕП): E ={1 — 4б; 5 — 7с; 8 — 12ч}, де1 — 4б,5 — 7с, 8 — 12ч — номери вiдповiдно бiлих, синiх та чорних кульок. Усього кульок: n =12.
  2. Позначимо подiї:
    • A — взяли бiлу кульку;
    • B —взялисиню кульку.
    • Склад кожної з подiй: A ={1—4б} ⇒m1 = 4; B = {5 — 7с} ⇒m2 =3.
    • Подiї A i B — несумiснi, адже в них вiдсутнi спiльнi елементарнi подiї (ЕП).
      P(A + B) = P(A) + P(B) = m1/n + m2/n = 4/12 + 3/12 = 7/12
  3. Позначимо подiї:
    • A — взяли бiлу кульку;
    • C — взяли кульку пiд парним номером.
    • Склад подiй: A ={1 — 4б} ⇒m1 = 4; C = {2; 4; 6; 8; 10; 12} ⇒ m2 = 6.
    • Цi подiї сумiснi, оскiльки мають спiльнi ЕП, A·C = {2; 4} ⇒ l = 2.
      P(A + C) = P(A) + P(C) — P(A·C) = m1/n + m2/n — l/n = 4/12 + 6/12 — 2/12 = 2/3

Вiдповiдь. 7/12; 2/3.

Задача 2

У колодi 36 гральних карт. Яка ймовiрнiсть навмання взяти з колоди: 1) туза або карту червоної мастi; 2) короля або валета.

Розв’язання

Можливi наслiдки дослiду (ПЕП): E ={36 карт} ⇒ n = 36.

  1. Позначимо подiї: A — взяли туза; B — взяли карту червоної мастi. Склад подiй: A ={4тузи} ⇒m1 = 4; B = {9 бубн.; 9 чирв.} ⇒m2 = 18. Заданi подiї сумiснi, оскiльки є спiльнi ЕП для A i B, A·B = {туз бубн.; туз чирв.} ⇒l =2.
    P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A·B) = 4/36 + 18/36 — 2/36 = 5/9.
  2. Позначимо подiї: C — взяли короля; D — взяли валета. Склад подiй: C = {4 королi} ⇒m1 = 4; D ={4валети} ⇒m2 = 4. Подiї C i D спiльних ЕП не мають, отже, вони несумiснi.
    P(C + D) = P(C) + P(D) = 4/36 + 4/36 = 2/9

Вiдповiдь. 5/9; 2/9.