Тригранний і многогранний кути

Фігура, що складається з усіх променів, які виходять із точки S і перетинають довільний многокутник, називають многогранним кутом.

Промені SA, SB, SC, SK,…, називають ребрами многогранного кута, плоскі кути ASB, BSC, KSA,…, називають гранями многогранного кута, а точку S — вершиною многогранного кута.

Залежно від кількості граней розрізняють тригранні, чотиригранні, …, n гранні кути.

Кутовими елементами многогранного кута є його плоскі і двогранні кути (ASBC, BSAK … .)

Многогранний кут розбиває простір на дві області — внутрішню
і зовнішню. Об’єднання многогранного кута з його внутрішньою областю також називають многогранним кутом.

Многогранний кут називається опуклим, якщо він розміщений з одного боку від площини кожної його грані.

Мірою многогранного кута називають різницю між сумою мір
усіх його двогранних кутів і сумою мір внутрішніх кутів того многокутника, який утворюється в перерізі кута площиною, що перетинає всі його грані.

Властивості многогранного кута:

• міра многогранного кута визначається даним кутом однозначно;
• міра многогранного кута визначається додатним числом;
• міра многогранного кута адитивна.

Многогранний кут називають правильним, якщо між собою рівні всі його двогранні кути,а також рівні всі його плоскі кути.
Тригранний кут, грані якого перпендикулярні одна одній, називають ортогональним тригранним кутом (це окремий випадок правильного многогранного кута).
Три взаємно перпендикулярні площини ділять весь простір на вісім ортогональних тригранних кутів — октантів.

Розглянемо тригранний кут SABC, позначимо його ребра SA,
SB, SC відповідно через a, b, c і відповідні їм двогранні кути CSAB,
ASBC, BSCA — через ∠ A, ∠ B, ∠C відповідно, а протилежні плоскі
кути CSB, ASC, ASB — через ∠α, ∠β, ∠γ відповідно.

Властивості тригранного кута

1. Необхідна й достатня умова існування тригранного кута: Тригранний кут із заданими плоскими кутами α, β, γ існує тоді й тільки тоді, коли виконуються нерівності: |β-γ| < α <β + γ; α + β + γ < 360° .
2. Ознаки рівності тригранних кутів:
   1. а) за двома плоскими кутами й двогранним кутом між ними;
   2. б) за трьома плоскими кутами;
   3. в) за трьома двогранними кутами;
   4. г) за плоским кутом та двома прилеглими двогранними кутами.
3. У тригранному куті проти рівних плоских кутів лежать рівні двогранні кути, і навпаки.
4. Якщо всі плоскі кути тригранного кута є рівними, то рівні й усі його двогранні кути, і навпаки.
5. Сума двогранних кутів тригранного кута більша ніж 180°.
6. Якщо всі двогранні кути тригранного кута гострі, то й усі плоскі кути тригранного кута також гострі.
7. Якщо бісектриси двох плоских кутів тригранного кута перпендикулярні, то бісектриса його третього плоского кута перпендикулярна кожній із перших двох бісектрис.
8. Бісектриси двогранних кутів тригранного кута перетинаються по одному променю.