Імовiрнiсть добутку подiй

Імовiрнiсть добутку двох незалежних подiй дорiвнює добутку ймовiрностей цих подiй

P(AB) = P(A) · P(B), де P(AB) — iмовiрнiсть добутку подiй A i B,  P(A) — iмовiрнiсть подiї A, P(B) — iмовiрнiсть подiї B.

Імовiрнiсть добутку двох подiй, одна з яких залежить вiд появи iншої подiї, дорiвнює добутку ймовiрностi першої подiї та умовної ймовiрностi другої подiї.

P(AB) = P(A) · P(B/A), де P(B/A) — iмовiрнiсть подiї B пiсля настання подiї A (умовна
ймовiрнiсть подiї B).

Задачі на імовірність добутку подій

Задача 1

В однiй коробцi 3 синiх i 5 червоних олiвцiв, а в iншiй — по 5 синiх i червоних олiвцiв. З кожної коробки беруть по одному олiвцю. Яка ймовiрнiсть того, що обидва олiвцi будуть синього кольору?

Розв’язання

Коробки умовно занумеруємо, олiвцi позначимо с, ч — синiй i червоний вiдповiдно. Позначимо подiї:

  • A — взято синiй олiвець з коробки № 1;
  • B — взято синiй олiвець з коробки № 2.

Склад заданих подiй та простору елементарних подiй (ПЕП) для
кожної з них:

  • для подiї A: E1 ={3с; 5ч} ⇒n1 = 8; A = {3c} ⇒ m1= 3;
  • для подiї B: E2 ={5с; 5ч} ⇒n2 = 10; B = {5с} ⇒m2 = 5.

A i B — незалежнi, адже настання подiї A не змiнює ПЕП для подiї B.

P(AB) = P(A) · P(B) = m1/n1 · m2/n2 = 3/8 · 5/10 = 3/16

Вiдповiдь. 3/16.

Задача 2

Із колоди, в якiй 36 гральних карт, навмання беруть одну за одною двi карти. Яка ймовiрнiсть того, що буде першою картою король а другою — валет?

Розв’язання

  1. Мiж подiями «взяли першим короля», а «другим взяли валета», замiсть сполучника А можна поставити сполучник І. Отже, це задача на ймовiрнiсть добутку подiй.
  2. Позначимо подiї:
    • C — iз колоди карт взяли першим короля;
    • D — iз колоди другим взяли валета.
  3. Склад заданих подiй та простору елементарних подiй (ПЕП) для кожної з них:
    • для подiї C: E1 ={36 карт} ⇒n1 = 36; C = {4 королi} ⇒m1 = 4;
    • для подiї D: E2 ={35 карт} ⇒n2 = 35; D ={4 валети} ⇒m2 = 4.
    • Подiя D залежна вiд подiї C, оскiльки настання подiї C впливає на ПЕП для подiї D.
      P(CD) = P(C) · P(D/C) = m1/n1 · m2/n2 = 4/36· 4/35 = 4/315.

Вiдповiдь. 4/315.