Рівносильні нерівності

Дві нерівності називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі розв’язки, тобто якщо кожен розв’язок першої нерівності
є розв’язком другої і, навпаки, кожен розв’язок другої нерівності є розв’язком першої. Читать далее «Рівносильні нерівності»

ОДЗ нерівності

Область допустимих значень (ОДЗ) нерівності

Аналогічно до ОДЗ рівняння. Якщо задано нерівність f (x) > g (x), то спільна область визначення для функцій  f (x) і  g (x) називається областю допустимих значень цієї нерівності (іноді використовують також терміни «область визначення нерівності» або «множина допустимих значень нерівності»). Читать далее «ОДЗ нерівності»

Нерівність, розв’язки нерівності

Поняття нерівності зі змінною та її розв’язків

Якщо два вирази зі змінною сполучити одним із знаків >, <, ≤, ≥, то одержимо нерівність зі змінною.

Аналогічно до рівняння, нерівність зі змінною (наприклад, із знаком >) найчастіше розуміють як аналітичний запис задачі про знаходження тих значень аргументів, при яких значення однієї із заданих функцій більше за значення другої заданої функції. Тому в загальному вигляді нерівність з однією змінною x (наприклад, для випадку «більше») записують так: f (x) > g (x). Читать далее «Нерівність, розв’язки нерівності»

Область допустимих значень (ОДЗ) рівняння

Якщо задано рівняння f (x) = g (x), то спільна область визначення для функцій f (x) і g (x) називається областю допустимих значень цього рівняння. (Іноді використовують також терміни «область визначення рівняння» або «множина допустимих значень рівняння».) Читать далее «Область допустимих значень (ОДЗ) рівняння»

Поняття рівняння та його коренів

Рівняння в математиці найчастіше розуміють як аналітичний запис задачі про знаходження значень аргументу, при яких значення двох даних функцій рівні. Тому в загальному вигляді рівняння з однією змінною x записують так: f (x) = g (x).

Найчастіше рівняння означають коротше — як рівність із змінною. Читать далее «Поняття рівняння та його коренів»

Парні і непарні функції

Парна функція

Розглянемо функції, області визначення яких симетричні відносно початку координат, тобто разом з  кожним числом x містять і число –x. Для таких функцій визначено поняття парності і непарності.

Функція f називається парною, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = f (x). Читать далее «Парні і непарні функції»

Зростаючі та спадні функції

Зростаюча функція

Функція  f (x) називається зростаючою на множині Р, якщо більшому значенню аргументу із цієї множини відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких двох значень x1 і x2 з множини Р, якщо x2 > x1, то f (x2) > f (x1). Читать далее «Зростаючі та спадні функції»

Графік функції

Графіком функції y = f (x) називається множина всіх точок координатної площини з координатами (x; f (x)), де перша координата x «пробігає» всю область визначення функції, а друга координата — це відповідне значення функції f у точці x. Читать далее «Графік функції»

Поняття функції

Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу x із множини D ставиться у відповідність єдине число y.

Функції позначають латинськими (інколи грецькими) буквами.  Приклад: f(x) Читать далее «Поняття функції»

Операції над множинами

Над множинами можна виконувати певні дії: перетин, об’єднання, знаходження різниці множин.

Дамо означення цих операцій і проілюструємо їх за допомогою кругів Ейлера —Венна. Читать далее «Операції над множинами»

Підмножина

Якщо кожен елемент однієї множини A є елементом множини B, то кажуть, що перша множина A є підмножиною  множини B.Це записують так: A ⊂ B.

Наприклад, {1; 2} ⊂ {0; 1; 2; 3}, N ⊂ Z  (оскільки будь-яке натуральне число — ціле), Z ⊂ Q  (оскільки будь-яке ціле число — раціональне),  Q  ⊂  R  (оскільки будь-яке раціональне число — дійсне). Читать далее «Підмножина»

Рівність множин

Нехай А — множина цифр трицифрового числа 312, тобто A = {3; 1; 2}, а B — множина натуральних чисел, менших від 4, тобто B = {1; 2; 3}. Оскільки ці множини складаються з  одних і  тих самих елементів, то їх вважають рівними.

Це записують так:  A = B. Для нескінченних множин таким способом (порівнюючи всі елементи) установити їх рівність неможливо. Тому в загальному випадку рівність множин означають таким чином. Читать далее «Рівність множин»

Поняття множини

Множини. Елементи множин

Одним з  основних понять, які використовують у математиці, є поняття множини. Для нього не дають означення. Можна пояснити, що множиною називають довільну сукупність об’єктів, а самі об’єкти — елементами даної множини. Так, можна говорити про множину учнів у класі (елементи — учні), множину днів тижня (елементи — дні тижня), множину натуральних дільників числа 6 (елементи — числа 1, 2, 3, 6) тощо. Читать далее «Поняття множини»