Отже,будь яка множина точок є геометричною фігурою.

Частина геометричної фігури теж є геометричною фігурою.

Геометричною фігурою  є й  об’єднання кількох  геометричних фігур. На  малюнку   фігура  складається  з  прямокутника  та двох трикутників.

Однією з основних геометричних фігур є площина. Уявлення  про  частину  площини  дає  поверхня  стола,  шибки,  стелі.

Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма. Прямі можна проводити за допомогою лінійки. При цьому зображуємо частину прямої, а всю пряму
уявляємо нескінченною в обидва боки. Прямі найчастіше позначають малими латинськими буквами a, b, c, d, …, а точки — великими латинськими буквами A, B, C, D…

На малюнку  зображено пряму a і точки A, B, C. Точки A і B лежать на прямій a; говорять також, що точки A і B належать прямій a, або, що пряма a проходить через
точки A і B. Точка С не лежить на прямій a; інакше кажучи, точка C не належить прямій a, або пряма a не проходить через точку C.

Теореми про рівносильність нерівностей

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу частину доданки з  протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на будь-якій множині).
2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і додатна на ОДЗ заданої нерівності), не змінюючи знака нерівності, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої).
3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і від’ємна на ОДЗ заданої нерівності) і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої).

Аналогічно до ОДЗ рівняння. Якщо задано нерівність f (x) > g (x), то спільна область визначення для функцій  f (x) і  g (x) називається областю допустимих значень цієї нерівності (іноді використовують також терміни «область визначення нерівності» або «множина допустимих значень нерівності»).

Наприклад, для нерівності x² < x областю допустимих значень є всі дійсні числа (це можна записати, наприклад, так: ОДЗ: x ∈ R),

оскільки функції f (x) = x² і g (x) = x мають області визначення x ∈ R.

Зрозуміло, що кожен розв’язок заданої нерівності входить як до області визначення функції f (x), так і до області визначення функції g (x) (інакше ми не зможемо отримати правильну числову нерівність).

Отже, кожен розв’язок нерівності обов’язково входить до ОДЗ цієї нерівності.

Це дозволяє в деяких випадках використовувати аналіз ОДЗ нерівності для її розв’язування.

Якщо два вирази зі змінною сполучити одним із знаків >, <, ≤, ≥, то одержимо нерівність зі змінною.

Аналогічно до рівняння, нерівність зі змінною (наприклад, із знаком >) найчастіше розуміють як аналітичний запис задачі про знаходження тих значень аргументів, при яких значення однієї із заданих функцій більше за значення другої заданої функції. Тому в загальному вигляді нерівність з однією змінною x (наприклад, для випадку «більше») записують так: f (x) > g (x).

Розв’язком нерівності називається значення змінної, яке перетворює цю нерівність на правильну числову нерівність.

Розв’язати нерівність —  означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

Наприклад, розв’язками нерівності 3x < 6 є всі x < 2, розв’язками нерівності  x² > –1 є всі дійсні числа (R), а  нерівність  x² < –1 не має розв’язків, оскільки значення x² не може бути від’ємним числом, меншим за –1.

Наприклад, для рівняння х² = х областю допустимих значень є всі дійсні числа. Це можна записати, наприклад, так: ОДЗ: x ∈ R, оскільки функції f (x) = x² і g (x) = x мають області визначення R.

Зрозуміло, що кожен корінь заданого рівняння входить як до області визначення функції f (x), так і до області визначення функції g (x) (інакше ми не зможемо отримати правильну числову рівність).

Отже, кожен корінь рівняння обов’язково входить до ОДЗ цього рівняння. Це дозволяє в деяких випадках використовувати аналіз ОДЗ рівняння при його розв’язуванні.

Найчастіше рівняння означають коротше — як рівність із змінною.

Коренем рівняння (або розв’язком)  називається значення змінної, при підстановці якого в рівняння утворюється правильна рівність.

Розв’язати рівняння —  означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Наприклад, рівняння 2x = –1 має єдиний корінь  x =−1/2,  а рівняння

| x | = –1 не має коренів, оскільки значення | x | не може бути від’ємним числом.

Розглянемо функції, області визначення яких симетричні відносно початку координат, тобто разом з  кожним числом x містять і число –x. Для таких функцій визначено поняття парності і непарності.

Функція f називається парною, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = f (x).

Наприклад, функція y = x₂ (тобто функція f (x) = x₂) — парна, оскільки

f (–x) = (–x)² = x² = f (x).

Якщо функція  f (x) парна, то до її графіка разом з  кожною точкою M з координатами (x; y) = (x; f (x)) входить також і точка M₁ з координатами (–x; y) = (–x; f (–x)) = (–x; f (x)). Точки M і M₁ розміщені симетрично відносно осі Oy, тому й графік парної функції розміщений симетрично відносно осі Oy.

Наприклад, графік парної функції y = x² симетричний відносно осі Oy.

Непарна функція

Функція f називається непарною, якщо для будь-якого x з її області визначення f (–x) = –f (x).

Наприклад, функція  y=1/x  (тобто функція  f(x)=1/x  — непарна, )

оскільки 

Якщо функція f (x) непарна, то до її графіка разом з кожною точкою M з координатами (x; y) = (x; f (x)) входить також і точка M₁з координатами (–x; y) = (–x; f (–x)) = (–x; –f (x)). Точки M і M₁ розміщені симетрично відносно початку координат (рис. 25), тому й графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку координат.

Функція  f (x) називається зростаючою на множині Р, якщо більшому значенню аргументу із цієї множини відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких двох значень x₁ і x₂ з множини Р, якщо x₂ > x₁, то f (x₂) > f (x₁).

Спадна функція

Функція f (x) називається  спадною на множині  Р, якщо більшому значенню аргументу із цієї множини відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких двох значень x₁ і x₂ з множини Р, якщо x₂ > x₁, то f (x₂) < f (x₁).

Наприклад, функція  f (x) = –2x спадна (на всій області визначення, тобто на множині R), оскільки, якщо x₂ > x₁, то –2x₂ < –2x₁, отже, f (x₂) < f (x₁).

Відповідні точки графіка спадної функції при збільшенні аргументу опускаються.

Функції позначають латинськими (інколи грецькими) буквами.  Приклад: f(x)

Розглянемо довільну функцію  f. Число  y, яке відповідає числу x (на рисунку це показано стрілкою), називають значенням функції f у точці x і позначають f (x).

Область визначення функції  f — це множина тих значень, яких може набувати аргумент x. Вона позначається D (f).

Область значень функції  f — це множина, яка складається з усіх  чисел f (x), де x належить області визначення. Її позначають E (f).

Дамо означення цих операцій і проілюструємо їх за допомогою кругів Ейлера —Венна.

Операція перетину множин

Перетином множин А і В називають їхню спільну частину, тобто множину C усіх елементів, що належать як множині  А,  так і множині В.

Перетин множин позначають знаком  ∩ (на рисунку 3 наведено ілюстрацію означення перетину множин).

Наприклад, якщо A = {2; 3; 4}, B = {0; 2; 4; 6}, то A ∩ B = {2; 4}.

Операція об’єднання множин

Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В). Об’єднання множин позначають знаком ∪ (на рисунку 4 наведено ілюстрацію означення об’єднання множин).

Наприклад, для множин A і B з попереднього прикладу A∪B = {0; 2; 3; 4; 6}.

Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M∪Q = R.

Операція різниці множин

Різницею множин А і В  називається множина С, яка складається з  усіх елементів, які належать множині А  і не належать множині В.

Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку 5 наведеню ілюстрацію означення різниці множин).

Наприклад, якщо  A = {1; 2; 3},  B = {2; 3; 4; 5}, то  A \ B = {1}, а B \ A = {4; 5}.

Доповнення множини

Якщо B — підмножина A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A (рис. 6).

Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел через M, то
R \ Q = M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А,але які належать універсальній множині U.

Доповнення множини А позначають  Ā  (читають: «А з рискою» або «доповнення А»).

Наприклад, якщо U = R і A = [0; 1], то  Ā = (−∞; 0) ∪  (0; +∞) (Для цього прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дійсних чисел на числовій прямій — рис. 8).

Наприклад, {1; 2} ⊂ {0; 1; 2; 3}, N ⊂ Z  (оскільки будь-яке натуральне число — ціле), Z ⊂ Q  (оскільки будь-яке ціле число — раціональне),  Q  ⊂  R  (оскільки будь-яке раціональне число — дійсне).

Вважають, що завжди ∅ ⊂ A, тобто порожня множина є підмножи-ною будь-якої непорожньої множини.

Інколи замість запису A ⊂ B використовують також запис A ⊆ B, якщо множина A або є підмножиною множини B, або дорівнює множині B. Наприклад, A ⊆ A.

Співставимо означення рівності множин з означенням підмножини.

Якщо множини А і В рівні, то:

1. кожний елемент множини А є елементом множини B, отже, А — підмножина В
   (A ⊆ B);
2. кожний елемент множини В є елементом множини А, отже, В — підмножина А
   (B ⊆ A).

Таким чином, дві множини рівні, якщо кожна з них є підмножиною іншої.

Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера-Венна).

Це записують так:  A = B. Для нескінченних множин таким способом (порівнюючи всі елементи) установити їх рівність неможливо. Тому в загальному випадку рівність множин означають таким чином.

Дві множини називаються рівними, якщо кожний елемент першої множини є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини є елементом першої множини. З наведеного означення рівності множин випливає, що в множині однакові елементи не розрізняються.

Дійсно, наприклад, {1; 2; 2} = {1; 2}, оскільки кожний елемент першої множини (1 або 2) є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини (1 або 2) є елементом першої. Тому, записуючи множину, найчастіше кожний її елемент записують тільки один раз.

Одним з  основних понять, які використовують у математиці, є поняття множини. Для нього не дають означення. Можна пояснити, що множиною називають довільну сукупність об’єктів, а самі об’єкти — елементами даної множини. Так, можна говорити про множину учнів у класі (елементи — учні), множину днів тижня (елементи — дні тижня), множину натуральних дільників числа 6 (елементи — числа 1, 2, 3, 6) тощо.

У курсах алгебри та алгебри і початків аналізу найчастіше розглядають множини, елементами яких є числа, і тому їх називають числовими множинами.

Як правило, множини позначають великими літерами латинського алфавіту. Наприклад, якщо множина М складається із чисел 1; 2; 3, то її позначають так: М = {1; 2; 3}. Той факт, що число 2 входить до цієї множини (є елементом даної множини М), записують за допомогою спеціального значка ∈ так: 2 ∈ М; а те, що число 5 не входить до цієї множини (не є елементом даної множини), записують так: 5 ∉ М.

Можна розглядати також множину, яка не містить жодного елемента, — порожню множину.

Наприклад, множина простих дільників числа 1 — порожня множина.

Позначення множин

Для деяких множин існують спеціальні позначення:

• порожню множину позначають символом ∅;
• множину всіх натуральних чисел — літерою  N;
• множину всіх цілих чисел — літерою  Z;
• множину всіх раціональних чисел — літерою  Q;
• множину всіх дійсних чисел — літерою  R.

Множини бувають  скінченні і  нескінченні залежно від того, яку кількість елементів вони містять. Так, множини А = {7}; M = {1; 2; 3} — скінченні, бо містять скінченне число елементів, а множини N, Z, Q, R — нескінченні.

Множини задають або за допомогою переліку їх елементів (це можна зробити лише для скінченних множин), або за допомогою опису, коли задається правило — характеристична властивість, яке дозволяє визначити, належить чи ні даний об’єкт розглядуваній множині. Наприклад, множина А = {–1; 0; 1} задана переліком елементів, а множина B парних цілих чисел — характеристичною властивістю елементів множини. Останню множину інколи записують так:  B = {b  |  b — парне ціле число} або так: B = {b | b = 2m, де m ∈ Z} — тут після вертикальної риски записана характеристична властивість. (запис  m ∈ Z означає, що m приймає будь-яке ціле значення, що також можна записувати так:  m = 0; ±1; ±2; …)

У загальному вигляді запис множини за допомогою характеристичної властивості можна подати так: A = {x | P (x)}, де P (x) — характеристична властивість.

Наприклад, {x  |  x² – 1 = 0} = {–1, 1}, {x| x ∈ R і  x² + 1 = 0} = ∅.

Властивостi трикутника Паскаля

1. Усi рядки в трикутнику розпочинаються з числа 1.
2. У клiтинках схеми з координатами m = n має бути число 1.
3. Будь-яке число трикутника дорiвнює сумi двох чисел з попереднього рядка, одне з яких знаходиться над згаданим числом, а iнше — безпосередньо перед ним.
4. Сума чисел n — го рядка дорiвнює 2ⁿ, n — кiлькiсть елементiв, що беруть участь у створеннi комбiнацiй без повторень, m — кiлькiсть мiсць у комбiнацiях без повторень.  C_n^m — кiлькiсть комбiнацiй без повторень.

1. Порядок розташування елементiв у сполуках не має значення.
2. Елементи у сполуках можуть бути задiянi вiд нуля до m разiв: 0 ≤ k_i ≤ m, де

• m — кiлькiсть мiсць у кожнiй сполуцi вибраної групи;
• k_i — кiлькiсть мiсць у сполуцi для будь-якого елемента, що задiяний для її складання.

Кiлькiсть комбiнацiй з повтореннями обчислюють за формулою

1. Порядок розташування елементiв у сполуцi має значення.
2. Елементи у сполуках можуть бути задiянi вiд нуля до m разiв: 0 ≤ k_i ≤ m, де

• m — кiлькiсть мiсць у кожнiй сполуцi вибраної групи;
• k_i — кiлькiсть мiсць у сполуцi для будь-якого елемента, що задiяний для її складання.

Кiлькiсть розмiщень з повтореннями обчислюють за формулою:  Ã_n^m = n^m, де n — кiлькiсть елементiв, що претендують на мiсця у сполуках.

1. Порядок розташування елементiв у сполуцi має значення.
2. Елементи у сполуках можуть повторюватися, i кiлькiсть їх повторень є незмiнною для всiєї вибраної групи сполук: m = k₁+ k₂ + … + k_n, де m — кiлькiсть мiсць у кожнiй сполуцi вибраної групи,
   • k₁ — кiлькiсть мiсць у сполуцi для елемента номер 1;
   • k₂ — кiлькiсть мiсць для елемента номер 2;
   • …
   • k_n — кiлькiсть мiсць для елемента номер n.

Кiлькiсть перестановок з повтореннями обчислюють за формулою 

1. Елементи у сполуцi не повторюються.
2. Кiлькiсть мiсць (m) у сполуцi не бiльша нiж кiлькiсть елементiв (n), якi претендують на цi мiсця (m ≤ n).
3. Порядок розташування елементiв у сполуцi не має значення.

Кiлькiсть комбiнацiй обчислюють за формулою 

C_n^m = n! / (m!·(n — m)!)

Задача 1

Іван, Андрiй, Олег, Сергiй i Вiктор жеребкуванням призначають двох чергових у класi. Скiльки iснує варiантiв такого вибору?

Розв’язання

Оскiльки обов’язки в обох чергових однаковi, а кiлькiсть хлопцiв менша за кiлькiсть чергових, то iснує

C₅² = 5! / (2!·(5 — 2)!) = 10 варiантiв призначення чергових.

Вiдповiдь. 10 варiантiв.

Задача 2

У змаганнях з баскетболу беруть участь 10 команд, з яких тiльки чотири перших змагатимуться у фiнальнiй частинi. Скiльки iснує варiантiв складу фiнальної четвiрки?

Розв’язання

Не має значення, яке з чотирьох перших мiсць посяде команда. Усього 10 команд, кiлькiсть мiсць для фiналiстiв дорiвнює 4, отже, iснує

C₁₀⁴ = 10! / (4!·(10 — 4)!)= 210 варiантiв складу фiнальної четвiрки.

Вiдповiдь. 210 варiантiв.