1. бічні ребра й висота поділяються цією площиною на пропорційні частини;
2. у перерізі лежитьмногокутник, подібниймногокутнику, що лежить в основі піраміди;
3. площі перерізу й основи відносяться як квадрати їх відстаней до вершини;
4. за умови, що вона поділила її на рівновеликі частини, виконується умова 

Для задання піраміди достатньо будь-який многогранний кут перетнути довільною площиною.

Для зображення піраміди вибираємо многокутник (довільний) і точку поза площиною цього многокутника. Сполучаємо задану точку з усіма вершинами многокутника.

Грань піраміди, що задає многокутник, називають основою піраміди.

Інші грані називають бічними гранями піраміди, і вони є трикутниками.

Спільна вершина трикутників називається вершиною піраміди.

Позначають піраміду, починаючи з вершини SABCD…, і називають n-кутною пірамідою залежно від кількості вершин многокутника.

Ребра, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами.

Точка S — вершина піраміди;

многокутник ABCDEFK … — основа піраміди;

Δ SAB, Δ SBC, Δ SCD, ΔSDE, … — бічні грані піраміди;

відрізки SD, SB, SC, SD, … — бічні ребра піраміди.

Перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину основи, називається висотою піраміди, SO ⊥(ABC)  —висота піраміди, позначається SO  =  H.

Діагональна площина — площина, яку проведено через будь-яку з діагоналей основи і вершину піраміди, а переріз піраміди цією площиною називають діагональним перерізом — це трикутник.

Класифікація пірамід

Правильна піраміда

Неправильна піраміда

Зрізана піраміда

Піраміда називається неправильню, якщо в її основі лежить неправильний багатокутник або, якщо в її основі лежить правильний багатокутник, але
вершина піраміди не проектується у центр основи піраміди.

Залежність кількості ребер, вершин і граней піраміди від кількості кутів

Усі грані куба — квадрати.

Центром симетрії куба є точка перетину його діагоналей.

Куб має такі площини симетрії: три площини симетрії, що проходять через середини ребер протилежних граней; шість площин симетрії, що проходять через протилежні ребра.

Куб має такі осі симетрії: три осі симетрії, що проходять через центри протилежних граней; чотири осі симетрії, що проходять через протилежні вершини; шість осей симетрії, що проходять через середини протилежних ребер.

Якщо a —ребро куба й d —діагональ куба, то 

V_куба= a­³· S_б. = 4a² · S_пов.= 6a²

Якщо переріз куба площиною є трикутником, то цей трикутник гострокутний.

Переріз куба площиною, що проходить через кінці його ребер, які виходять з однієї вершини, є правильним трикутником.

Переріз куба, що проходить через його центр і перпендикулярний до діагоналі куба, є правильним шестикутником.

Перерізом куба може бути тільки або трикутник, або чотирикутник, або шестикутник.

Властивості куба

Якщо ABCDA₁B₁C₁D₁ —куб,то:

• діагональ куба перпендикулярна до мимобіжної з нею діагоналі грані куба;
• діагональ B₁D перпендикулярна площині ACD₁ ;
• площина ACD₁ паралельна площині A₁BC₁ ;
• діагональ B₁D перетинає площини трикутників ACD₁ і A₁BC₁ у точках M₁ і M₂ перетину їх медіан;
• точки M₁ і M₂ ділять діагональ B₁D на три рівні частини;
• площини ABC₁ і A₁B₁D перпендикулярні;
• тангенс кута, що утворює діагональ куба з однією з граней, дорівнює 

• мимобіжні діагоналі непаралельних граней куба утворюють між собою кут 60°.
• Кут між мимобіжними прямими, на одній з яких лежить діагональ куба, а на другій — діагональ грані куба, дорівнює 90°.

2) Ребра, що виходять з однієї вершини прямокутного парале лепіпеда, взаємно перпендикулярні (при кожній вершині існує три такі ребра).

3) Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називають його лінійними розмірами (вимірами).

4) Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних вимірів.

5) Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини: V = abc .

6) Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

7) Центром симетрії прямокутного паралелепіпеда є точка перетину його діагоналей.

8) Прямокутний паралелепіпед має три площини симетрії, що проходять через середини паралельних ребер.

9) Прямокутний паралелепіпед має три осі симетрії,що проходять через точки перетину діагоналей протилежних граней.

10) Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту прямокутного паралелепіпеда: S_б =Р_осн.·Н.

11) Якщо площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S₁ , S₂ , S₃ , то об’єм цього паралелепіпеда дорівнює 

12) У прямокутному паралелепіпеді з вимірами a, b, c відстань між мимобіжними діагоналями суміжних бічних граней дорівнює 

13) У прямокутному паралелепіпеді кут між мимобіжними діагоналями бічних граней дорівнює добутку синусів кутів нахилу кожній із цих діагоналей до площини основи.

14) Якщо ABCDA₁B₁C₁D₁  — прямокутний паралелепіпед, то переріз AB₁C₁D — прямокутник.

• Паралелепіпед має 8 вершин, 12 ребер і 6 граней.
• Кожна грань паралелепіпеда — паралелограм.
• Паралельні ребра паралелепіпеда рівні.

2)       Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.

3)       Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називають протилежними. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні й рівні.

4)       Центром симетрії паралелепіпеда є точка перетину його діагоналей.

5)       Паралелепіпед має три пари протилежних граней.

6)       Переріз паралелепіпеда площиною, паралельною бічній грані, є паралелограмом. Переріз площиною,що проходить через протилежні ребра, — паралелограм.

7)       Сума квадратів довжин чотирьох діагоналей паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів довжин дванадцяти його ребер.

8)       У похилому паралелепіпеді квадрат його діагоналі дорівнює сумі квадратів діагоналей граней, що мають із указаною діагоналлю паралелепіпеда спільну вершину, без квадратів трьох його вимірів.

9)       Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називають прямим паралелепіпедом.

10)   Бічні грані прямого паралелепіпеда —прямокутники, а основи — паралелограми.

11)   Об’єм прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі бічної грані на відстань від цієї грані до паралельної їй грані.

1. Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основи, то призму називають прямою призмою.
2. Кожна бічна грань прямої призми — прямокутник.
3. Довжина висоти призми дорівнює довжині бічного ребра.

1. Діагональний переріз прямої призми є прямокутником.
2. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра: S_б =Р_осн Н.
3. Пряма призма має площину симетрії, що проходить через середини бічних ребер.
4. Якщо в основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, то:
   • діагоналі призми рівні між собою;
   • кожна діагональ перетинає дві з трьох діагоналей, що залишились, і мимобіжна з третьою;
   • чотири точки перетину, що побудували, утворюють просторовий чотирикутник (не належать одній площині), одна з його діагоналей паралельна бічному ребру призми, а друга — основі призми;
   • діагоналі цього просторового чотирикутника взаємно перпен дикулярні.

Два рівні n — кутники, що лежать у паралельних площинах, називають основами (ABCD … і A₁ B₁C₁D₁…), всі інші грані називають бічними гранями (AA₁, B₁B, BB₁, C₁C…). Відрізки AB, BC, CD, … — сторони основи призми, AA₁, BB₁, CC₁ — бічні ребра призми.

Призму з n-кутником в основі називають n-кутною призмою (в основі трикутник — трикутна призма, в основі чотирикутник — чотирикутна призма).

Відрізок, що сполучає дві вершини, які належать одній грані, називається діагоналлю цієї грані (діагоналі основи й діагоналі бічної грані).

Відрізок, що сполучає дві вершини призми, які не належать одній грані, називається діагоналлю призми.

Кількість діагоналей n-кутної призми дорівнює n(n −3) .

Переріз призми площиною, що паралельна основі призми, є многокутник, який рівний многокутнику, що лежить в основі.

Діагональним перерізом призми називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, які не лежать в одній грані.

Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки однієї основи до площини другої основи, називається висотою призми.

Площею бічної поверхні довільної призми є сума площ її бічних
граней.

Площею повної поверхні довільної призми є сума площ її бічних
граней і подвоєної площі основи: S_П = S_б +2S₀.

Сума всіх плоских кутів n-кутної призми дорівнює 720⁰(n — 2) .

Сума всіх двогранних кутів n-кутної призми дорівнює 360⁰(n — 1) .

Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту призми.

V = S₀H

Класифікація призм

Многогранник — це тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількості плоских многокутників.

Многокутники, які обмежують многогранник, називають гранями. Сторони граней називають ребрами, кінці ребер вершинами.

Діагоналлю многогранника називають відрізок, який сполучає дві вершини, що не належать одній грані.

Многогранник називається опуклим, якщо разом із кожними двома своїми точками він містить і відрізок, що їх сполучає.

Площа поверхні многогранника — це сума площ усіх його граней.

Площа поверхні многогранника дорівнює площі його розгортки.

Під розгорткою многогранника розуміють сукупність многокутників, для якої вказано, як їх треба «склеювати» або прикладати один до одного на відповідних сторонах, щоб скласти многогранник.

Формула Ейлера

Якщо в опуклому многограннику позначити число граней — Г, число ребер — Р, число вершин — В, то виконується рівність В + Г  – Р = 2.

Об’ємом многогранника називають додатне число V, поставлене йому у відповідність так, що виконуються умови:

1. рівні многогранники мають рівні об’єми;
2. одиницею виміру об’єму є об’єм куба, довжина ребра якого одиниця;
3. якщо многогранник складено з декількох тіл, то його об’єм дорівнює сумі об’ємів його тіл;
4. об’єми подібних тіл відносяться як куби відповідних лінійних розмірів.

AB — похила до площини p.
Ap ∈ , Bp ∉ , AC — проекція похилої AB на площину p. AD — довільна пряма площини p, BC p ⊥ , ∠BAC = α, ∠CAD = β, ∠BAD = γ,
тоді cosγ = cosα*cosβ

Теорема про три синуси

Синус кута, утвореного прямою, яка лежить у площині однієї із граней двогранного кута, з іншою гранню, дорівнює добутку синуса двогранного кута на синус кута, який утворює ця пряма з ребром двогранного кута.

Тобто якщо ∠BAC— лінійний кут двогранного кута з ребром AD і ∠BAC = α, ∠BDA — кут між похилою BD та ребром AD і ∠BDA = β, ∠BDC — кут між похилою BD та площиною і ∠BDC = γ, то sinγ = sinα*sinβ

Теорема синусів для тригранного кута

Якщо α, β, γ — плоскі кути тригранного кута, A, B, C — протилежні їм двогранні кути, то виконується рівність

Друга теорема косинусів для тригранного кута

Якщо A, B, C — двогранні кути тригранного кута, а α — протилежний C двогранний кут, то виконується рівність

Промені SA, SB, SC, SK,…, називають ребрами многогранного кута, плоскі кути ASB, BSC, KSA,…, називають гранями многогранного кута, а точку S — вершиною многогранного кута.

Залежно від кількості граней розрізняють тригранні, чотиригранні, …, n гранні кути.

Кутовими елементами многогранного кута є його плоскі і двогранні кути (ASBC, BSAK … .)

Многогранний кут розбиває простір на дві області — внутрішню
і зовнішню. Об’єднання многогранного кута з його внутрішньою областю також називають многогранним кутом.

Многогранний кут називається опуклим, якщо він розміщений з одного боку від площини кожної його грані.

Мірою многогранного кута називають різницю між сумою мір
усіх його двогранних кутів і сумою мір внутрішніх кутів того многокутника, який утворюється в перерізі кута площиною, що перетинає всі його грані.

Властивості многогранного кута:

• міра многогранного кута визначається даним кутом однозначно;
• міра многогранного кута визначається додатним числом;
• міра многогранного кута адитивна.

Многогранний кут називають правильним, якщо між собою рівні всі його двогранні кути,а також рівні всі його плоскі кути.
Тригранний кут, грані якого перпендикулярні одна одній, називають ортогональним тригранним кутом (це окремий випадок правильного многогранного кута).
Три взаємно перпендикулярні площини ділять весь простір на вісім ортогональних тригранних кутів — октантів.

Розглянемо тригранний кут SABC, позначимо його ребра SA,
SB, SC відповідно через a, b, c і відповідні їм двогранні кути CSAB,
ASBC, BSCA — через ∠ A, ∠ B, ∠C відповідно, а протилежні плоскі
кути CSB, ASC, ASB — через ∠α, ∠β, ∠γ відповідно.

Властивості тригранного кута

1. Необхідна й достатня умова існування тригранного кута: Тригранний кут із заданими плоскими кутами α, β, γ існує тоді й тільки тоді, коли виконуються нерівності: |β-γ| < α <β + γ; α + β + γ < 360° .
2. Ознаки рівності тригранних кутів:
   1. а) за двома плоскими кутами й двогранним кутом між ними;
   2. б) за трьома плоскими кутами;
   3. в) за трьома двогранними кутами;
   4. г) за плоским кутом та двома прилеглими двогранними кутами.
3. У тригранному куті проти рівних плоских кутів лежать рівні двогранні кути, і навпаки.
4. Якщо всі плоскі кути тригранного кута є рівними, то рівні й усі його двогранні кути, і навпаки.
5. Сума двогранних кутів тригранного кута більша ніж 180°.
6. Якщо всі двогранні кути тригранного кута гострі, то й усі плоскі кути тригранного кута також гострі.
7. Якщо бісектриси двох плоских кутів тригранного кута перпендикулярні, то бісектриса його третього плоского кута перпендикулярна кожній із перших двох бісектрис.
8. Бісектриси двогранних кутів тригранного кута перетинаються по одному променю.

На ребрі двогранного кута вибираємо точку C і через цю точку в його гранях проводимо промені CA і CB перпендикулярно до ребра p.

Кут ACB, утворений цими променями, називають лінійним кутом цього двогранного кута.

Міра лінійного кута не залежить від вибору його вершини (точка C) на ребрі двогранного кута.

За міру двогранного кута приймають міру його лінійного кута.

З двох двогранних кутів уважають більшим той, лінійний кут якого більший.

Міра двогранного кута знаходиться в межах від 0° до 180°.

Вертикальні двогранні кути рівні.

Двогранні кути з відповідно паралельними й однаково (протилежно) направленими гранями рівні.

Усі прямі двогранні кути рівні.

Бісектриса кожного лінійного кута належить бісектрисі заданого двогранного кута.

Бісектриса двогранного кута є геометричним місцем точок, що лежать усередині цього кута й рівновіддалені від площин його граней.

Кут між площинами дорівнює куту між прямими, що перпендикулярні цим площинам, і знаходиться в межах від 0° до 90°.

Кут між паралельними площинами дорівнює 0°.

BC — перпендикулярдо площини α,
AB — похила до площини α, BC⊥α,
AC — проекція похилої AB на площину α,
∠BAC = ϕ — кут між прямою AB і площиною α, 0°<90°< ϕ .

Кут між похилою і площиною найменший з усіх кутів, які похила
утворює з прямими, проведеними на площині через основу похилої. Якщо точка C є проекцією точки D на площину трикутника ABC,то площа трикутника ABD дорівнює S cosα, де S — площа трикутника ABC,а α — кут між площинами ABC і ABD.

Кут між прямими в просторі не фігура, а кутова міра, величина. Якщо прямі паралельні або збігаються, то кут між ними дорівнює 0°.

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються й паралельні даним мимобіжним прямим. Величина кута між мимобіжними прямими не перевищує 90°.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між
ними дорівнює 90°.