Дамо означення цих операцій і проілюструємо їх за допомогою кругів Ейлера —Венна.

Операція перетину множин

Перетином множин А і В називають їхню спільну частину, тобто множину C усіх елементів, що належать як множині  А,  так і множині В.

Перетин множин позначають знаком  ∩ (на рисунку 3 наведено ілюстрацію означення перетину множин).

Наприклад, якщо A = {2; 3; 4}, B = {0; 2; 4; 6}, то A ∩ B = {2; 4}.

Операція об’єднання множин

Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В). Об’єднання множин позначають знаком ∪ (на рисунку 4 наведено ілюстрацію означення об’єднання множин).

Наприклад, для множин A і B з попереднього прикладу A∪B = {0; 2; 3; 4; 6}.

Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M∪Q = R.

Операція різниці множин

Різницею множин А і В  називається множина С, яка складається з  усіх елементів, які належать множині А  і не належать множині В.

Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку 5 наведеню ілюстрацію означення різниці множин).

Наприклад, якщо  A = {1; 2; 3},  B = {2; 3; 4; 5}, то  A \ B = {1}, а B \ A = {4; 5}.

Доповнення множини

Якщо B — підмножина A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A (рис. 6).

Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел через M, то
R \ Q = M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А,але які належать універсальній множині U.

Доповнення множини А позначають  Ā  (читають: «А з рискою» або «доповнення А»).

Наприклад, якщо U = R і A = [0; 1], то  Ā = (−∞; 0) ∪  (0; +∞) (Для цього прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дійсних чисел на числовій прямій — рис. 8).

Наприклад, {1; 2} ⊂ {0; 1; 2; 3}, N ⊂ Z  (оскільки будь-яке натуральне число — ціле), Z ⊂ Q  (оскільки будь-яке ціле число — раціональне),  Q  ⊂  R  (оскільки будь-яке раціональне число — дійсне).

Вважають, що завжди ∅ ⊂ A, тобто порожня множина є підмножи-ною будь-якої непорожньої множини.

Інколи замість запису A ⊂ B використовують також запис A ⊆ B, якщо множина A або є підмножиною множини B, або дорівнює множині B. Наприклад, A ⊆ A.

Співставимо означення рівності множин з означенням підмножини.

Якщо множини А і В рівні, то:

1. кожний елемент множини А є елементом множини B, отже, А — підмножина В
   (A ⊆ B);
2. кожний елемент множини В є елементом множини А, отже, В — підмножина А
   (B ⊆ A).

Таким чином, дві множини рівні, якщо кожна з них є підмножиною іншої.

Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера-Венна).

Це записують так:  A = B. Для нескінченних множин таким способом (порівнюючи всі елементи) установити їх рівність неможливо. Тому в загальному випадку рівність множин означають таким чином.

Дві множини називаються рівними, якщо кожний елемент першої множини є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини є елементом першої множини. З наведеного означення рівності множин випливає, що в множині однакові елементи не розрізняються.

Дійсно, наприклад, {1; 2; 2} = {1; 2}, оскільки кожний елемент першої множини (1 або 2) є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини (1 або 2) є елементом першої. Тому, записуючи множину, найчастіше кожний її елемент записують тільки один раз.

Одним з  основних понять, які використовують у математиці, є поняття множини. Для нього не дають означення. Можна пояснити, що множиною називають довільну сукупність об’єктів, а самі об’єкти — елементами даної множини. Так, можна говорити про множину учнів у класі (елементи — учні), множину днів тижня (елементи — дні тижня), множину натуральних дільників числа 6 (елементи — числа 1, 2, 3, 6) тощо.

У курсах алгебри та алгебри і початків аналізу найчастіше розглядають множини, елементами яких є числа, і тому їх називають числовими множинами.

Як правило, множини позначають великими літерами латинського алфавіту. Наприклад, якщо множина М складається із чисел 1; 2; 3, то її позначають так: М = {1; 2; 3}. Той факт, що число 2 входить до цієї множини (є елементом даної множини М), записують за допомогою спеціального значка ∈ так: 2 ∈ М; а те, що число 5 не входить до цієї множини (не є елементом даної множини), записують так: 5 ∉ М.

Можна розглядати також множину, яка не містить жодного елемента, — порожню множину.

Наприклад, множина простих дільників числа 1 — порожня множина.

Позначення множин

Для деяких множин існують спеціальні позначення:

• порожню множину позначають символом ∅;
• множину всіх натуральних чисел — літерою  N;
• множину всіх цілих чисел — літерою  Z;
• множину всіх раціональних чисел — літерою  Q;
• множину всіх дійсних чисел — літерою  R.

Множини бувають  скінченні і  нескінченні залежно від того, яку кількість елементів вони містять. Так, множини А = {7}; M = {1; 2; 3} — скінченні, бо містять скінченне число елементів, а множини N, Z, Q, R — нескінченні.

Множини задають або за допомогою переліку їх елементів (це можна зробити лише для скінченних множин), або за допомогою опису, коли задається правило — характеристична властивість, яке дозволяє визначити, належить чи ні даний об’єкт розглядуваній множині. Наприклад, множина А = {–1; 0; 1} задана переліком елементів, а множина B парних цілих чисел — характеристичною властивістю елементів множини. Останню множину інколи записують так:  B = {b  |  b — парне ціле число} або так: B = {b | b = 2m, де m ∈ Z} — тут після вертикальної риски записана характеристична властивість. (запис  m ∈ Z означає, що m приймає будь-яке ціле значення, що також можна записувати так:  m = 0; ±1; ±2; …)

У загальному вигляді запис множини за допомогою характеристичної властивості можна подати так: A = {x | P (x)}, де P (x) — характеристична властивість.

Наприклад, {x  |  x² – 1 = 0} = {–1, 1}, {x| x ∈ R і  x² + 1 = 0} = ∅.