Властивостi трикутника Паскаля

1. Усi рядки в трикутнику розпочинаються з числа 1.
2. У клiтинках схеми з координатами m = n має бути число 1.
3. Будь-яке число трикутника дорiвнює сумi двох чисел з попереднього рядка, одне з яких знаходиться над згаданим числом, а iнше — безпосередньо перед ним.
4. Сума чисел n — го рядка дорiвнює 2ⁿ, n — кiлькiсть елементiв, що беруть участь у створеннi комбiнацiй без повторень, m — кiлькiсть мiсць у комбiнацiях без повторень.  C_n^m — кiлькiсть комбiнацiй без повторень.

1. Порядок розташування елементiв у сполуках не має значення.
2. Елементи у сполуках можуть бути задiянi вiд нуля до m разiв: 0 ≤ k_i ≤ m, де

• m — кiлькiсть мiсць у кожнiй сполуцi вибраної групи;
• k_i — кiлькiсть мiсць у сполуцi для будь-якого елемента, що задiяний для її складання.

Кiлькiсть комбiнацiй з повтореннями обчислюють за формулою

1. Порядок розташування елементiв у сполуцi має значення.
2. Елементи у сполуках можуть бути задiянi вiд нуля до m разiв: 0 ≤ k_i ≤ m, де

• m — кiлькiсть мiсць у кожнiй сполуцi вибраної групи;
• k_i — кiлькiсть мiсць у сполуцi для будь-якого елемента, що задiяний для її складання.

Кiлькiсть розмiщень з повтореннями обчислюють за формулою:  Ã_n^m = n^m, де n — кiлькiсть елементiв, що претендують на мiсця у сполуках.

1. Порядок розташування елементiв у сполуцi має значення.
2. Елементи у сполуках можуть повторюватися, i кiлькiсть їх повторень є незмiнною для всiєї вибраної групи сполук: m = k₁+ k₂ + … + k_n, де m — кiлькiсть мiсць у кожнiй сполуцi вибраної групи,
   • k₁ — кiлькiсть мiсць у сполуцi для елемента номер 1;
   • k₂ — кiлькiсть мiсць для елемента номер 2;
   • …
   • k_n — кiлькiсть мiсць для елемента номер n.

Кiлькiсть перестановок з повтореннями обчислюють за формулою 

1. Елементи у сполуцi не повторюються.
2. Кiлькiсть мiсць (m) у сполуцi не бiльша нiж кiлькiсть елементiв (n), якi претендують на цi мiсця (m ≤ n).
3. Порядок розташування елементiв у сполуцi не має значення.

Кiлькiсть комбiнацiй обчислюють за формулою 

C_n^m = n! / (m!·(n — m)!)

Задача 1

Іван, Андрiй, Олег, Сергiй i Вiктор жеребкуванням призначають двох чергових у класi. Скiльки iснує варiантiв такого вибору?

Розв’язання

Оскiльки обов’язки в обох чергових однаковi, а кiлькiсть хлопцiв менша за кiлькiсть чергових, то iснує

C₅² = 5! / (2!·(5 — 2)!) = 10 варiантiв призначення чергових.

Вiдповiдь. 10 варiантiв.

Задача 2

У змаганнях з баскетболу беруть участь 10 команд, з яких тiльки чотири перших змагатимуться у фiнальнiй частинi. Скiльки iснує варiантiв складу фiнальної четвiрки?

Розв’язання

Не має значення, яке з чотирьох перших мiсць посяде команда. Усього 10 команд, кiлькiсть мiсць для фiналiстiв дорiвнює 4, отже, iснує

C₁₀⁴ = 10! / (4!·(10 — 4)!)= 210 варiантiв складу фiнальної четвiрки.

Вiдповiдь. 210 варiантiв.

1. Елементи у сполуцi не повторюються.
2. Кiлькiсть мiсць (m) у сполуцi менша за кiлькiсть елементiв (n) , якi претендують на цi мiсця (m < n).
3. Порядок розташування елементiв у сполуцi має значення.

Кiлькiсть розмiщень обчислюють за формулою:

A_n^m = n! / (n — m)!,

де n — кiлькiсть елементiв, якi претендують на мiсця у сполуцi, m — кiлькiсть мiсць у сполуцi.

Задача 1

Скiльки двозначних натуральних чисел можна скласти з цифр 4, 5, 8 i 9 за умови, що цифри в числi не повторюються?

Розв’язання

Задано 4 цифри, причому мiсць для цифр у числi 2. Порядок розташування цифр у числi має значення, отже, кiлькiсть чисел обчислимо за формулою

A₄² = 4! / (4 — 2)! = 12

Вiдповiдь. 12 чисел.

Задача 2

Технiчний гурток вiдвiдують десять учнiв. Скiльки iснує варiантiв обирання учасниками гуртка старости, його заступника та вiдповiдального за чергування?

Розв’язання

Кiлькiсть учнiв у гуртку бiльша за кiлькiсть посадових мiсць, причому посадовi обов’язки рiзнi, тому кiлькiсть варiантiв обирання старости, його заступника та вiдповiдального за чергування обчислимо за формулою

A₁₀³ = 10! / (10 — 3)! = 720

Вiдповiдь. 720 варiантiв.

n! = n · (n-1) · (n-2) … 2 · 1

Уважають що 0! =1 !

Задача 1

Скiльки п’ятизначних натуральних чисел можна скласти з цифр 2, 3, 5, 7, 8 за умови, що кожна цифра в числi задiяна тiльки один раз?

Розв’язання

Оскiльки цифр у числi 5 (n = 5), а мiсць для цифр у числi також 5(m = 5), то n = m.
Порядок розташування цифр у числi має значення, отже, маємо

P₅ = 5! =120 чисел.

Вiдповiдь. 120 чисел.

Задача 2

Осел, Цап, Мавпа i Ведмiдь вирiшили створити музичний квартет. Скiлькома рiзними способами можуть розсiстися «музиканти» вiдносно один одного, якщо вони важають, що вiд цього залежить якiсть їхньої музики?

Розв’язання

Кiлькiсть музикантiв (n = 4) дорiвнює кiлькостi мiсць для музикантiв (m = 4), тобто n = m.

Порядок розташування музикантiв пiд час гри має значення (так вони вважають), отже, тварини можуть розсiстися

P₄ = 4! = 24 способами.

Вiдповiдь. 24 рiзними способами.

Якщо об’єкт A можна вибрати k способами i незалежно вiд цього вибору iнший об’єкт B можна вибрати l способами, то пару, що складається з об’єктiв A i B, можна вибрати k · l  способами.

Правило суми

Якщо об’єкт A можна вибрати k способами, а об’єкт B можна вибрати l способами i при цьому вибiр об’єктiв є несумiсним, то вибрати A або B можна k + l способами.

Задача 1

Щоб потрапити до школи, Миколка мусить перейти рiчку через мiсток. Вiд його будинку до мiстка є три дороги, а вiд мiстка до школи – усього двi. Скiльки варiантiв вибору шляху вiд дому до школи має Миколка?

Розв’язання

Позначимо: об’єкт A — дорога вiд дому до мiстка, k = 3; об’єкт B — дорога вiд мiстка до школи, l = 2.

Щоб потрапити до школи, Миколка мусить пройти A i B. Отже, кiлькiсть рiзних маршрутiв знайдемо за правилом добутку:

N = k · l = 3 · 2 = 6.

Вiдповiдь. 6 рiзних маршрутiв.

Задача 2

У Костi є жовта, синя, червона i смугаста футболки, та зеленi i синi спортивнi труси. Скiльки iснує рiзних варiантiв спортивної форми для Костi?

Розв’язання

Позначимо: об’єкт A — футболка, яку вдягнув Костя, k = 4; об’єкт B — спортивнi труси, якi вдягнув Костя, l = 2.

Спортивна форма Костi складається з A i B. Отже, кiлькiсть варiантiв спортивної форми знайдемо за правилом добутку:

N = k · l = 4 · 2 = 8.

Вiдповiдь. 8 варiантiв спортивної форми.

Задача 3

Вiд будинку Івасика до озера є двi стежки через лiс та три — через луки. Скiльки варiантiв вибору шляху вiд свого дому до озера має Івасик?

Розв’язання

Позначимо: об’єкт A — стежка через лiс, k = 2; об’єкт B — стежка через луки, l = 3.
Вiд дому до озера Івасик може йти «стежкою через лiс або стежкою через луки», отже, вибрати шлях A або B. Отже, кiлькiсть варiантiв шляху знайдемо за правилом суми:

N = k + l = 2 + 3 = 5.
Вiдповiдь. 5 варiантiв.

Задача 4.

Збираючись на тренування, Олег вдягає майку або футболку. Скiльки варiантiв вибору в нього є, якщо мама випрала чотири майки та двi футболки?

Розв’язання

Позначимо: об’єкт A — майка, яку вибрав Олег, усього майок k = 4; B — футболка, яку вибрав Олег, усього футболок l = 2. На тренування Олег вдягає «майку або футболку», тобто A або B.

Отже, кiлькiсть варiантiв вибору обчислимо за правилом суми:
N = k + l = 4 + 2 = 6.

Вiдповiдь. Олег має 6 варiантiв вибору.