Теореми про рівносильність нерівностей

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу частину доданки з  протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на будь-якій множині).
2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і додатна на ОДЗ заданої нерівності), не змінюючи знака нерівності, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої).
3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і від’ємна на ОДЗ заданої нерівності) і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої).

Аналогічно до ОДЗ рівняння. Якщо задано нерівність f (x) > g (x), то спільна область визначення для функцій  f (x) і  g (x) називається областю допустимих значень цієї нерівності (іноді використовують також терміни «область визначення нерівності» або «множина допустимих значень нерівності»).

Наприклад, для нерівності x² < x областю допустимих значень є всі дійсні числа (це можна записати, наприклад, так: ОДЗ: x ∈ R),

оскільки функції f (x) = x² і g (x) = x мають області визначення x ∈ R.

Зрозуміло, що кожен розв’язок заданої нерівності входить як до області визначення функції f (x), так і до області визначення функції g (x) (інакше ми не зможемо отримати правильну числову нерівність).

Отже, кожен розв’язок нерівності обов’язково входить до ОДЗ цієї нерівності.

Це дозволяє в деяких випадках використовувати аналіз ОДЗ нерівності для її розв’язування.

Якщо два вирази зі змінною сполучити одним із знаків >, <, ≤, ≥, то одержимо нерівність зі змінною.

Аналогічно до рівняння, нерівність зі змінною (наприклад, із знаком >) найчастіше розуміють як аналітичний запис задачі про знаходження тих значень аргументів, при яких значення однієї із заданих функцій більше за значення другої заданої функції. Тому в загальному вигляді нерівність з однією змінною x (наприклад, для випадку «більше») записують так: f (x) > g (x).

Розв’язком нерівності називається значення змінної, яке перетворює цю нерівність на правильну числову нерівність.

Розв’язати нерівність —  означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

Наприклад, розв’язками нерівності 3x < 6 є всі x < 2, розв’язками нерівності  x² > –1 є всі дійсні числа (R), а  нерівність  x² < –1 не має розв’язків, оскільки значення x² не може бути від’ємним числом, меншим за –1.