Математик.org.ua » Призма

Куб

stepan_klimentievich — Sun, 09 Dec 2012 14:18:45 +0000

Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, або правильну чотирикутну призму, бічні грані якої квадрати, називають кубом.

Усі грані куба — квадрати.

Центром симетрії куба є точка перетину його діагоналей.

Куб має такі площини симетрії: три площини симетрії, що проходять через середини ребер протилежних граней; шість площин симетрії, що проходять через протилежні ребра.

Куб має такі осі симетрії: три осі симетрії, що проходять через центри протилежних граней; чотири осі симетрії, що проходять через протилежні вершини; шість осей симетрії, що проходять через середини протилежних ребер.

Якщо a —ребро куба й d —діагональ куба, то

V_куба= a³· S_б_. = 4a² · S_пов_.= 6a²

Якщо переріз куба площиною є трикутником, то цей трикутник гострокутний.

Переріз куба площиною, що проходить через кінці його ребер, які виходять з однієї вершини, є правильним трикутником.

Переріз куба, що проходить через його центр і перпендикулярний до діагоналі куба, є правильним шестикутником.

Перерізом куба може бути тільки або трикутник, або чотирикутник, або шестикутник.

Властивості куба

Якщо ABCDA₁B₁C₁D₁ —куб,то:

діагональ куба перпендикулярна до мимобіжної з нею діагоналі грані куба;
діагональ B₁D перпендикулярна площині ACD₁ ;
площина ACD₁ паралельна площині A₁BC₁ ;
діагональ B₁D перетинає площини трикутників ACD₁ і A₁BC₁ у точках M₁ і M₂ перетину їх медіан;
точки M₁ і M₂ ділять діагональ B₁D на три рівні частини;
площини ABC₁ і A₁B₁D перпендикулярні;
тангенс кута, що утворює діагональ куба з однією з граней, дорівнює

мимобіжні діагоналі непаралельних граней куба утворюють між собою кут 60°.
Кут між мимобіжними прямими, на одній з яких лежить діагональ куба, а на другій — діагональ грані куба, дорівнює 90°.

Прямокутний паралелепіпед

stepan_klimentievich — Sun, 09 Dec 2012 13:39:16 +0000

1) Паралелепіпед, усі грані якого — прямокутники, називають прямокутним паралелепіпедом.

2) Ребра, що виходять з однієї вершини прямокутного парале лепіпеда, взаємно перпендикулярні (при кожній вершині існує три такі ребра).

3) Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називають його лінійними розмірами (вимірами).

4) Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних вимірів.

5) Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини: V = abc .

6) Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

7) Центром симетрії прямокутного паралелепіпеда є точка перетину його діагоналей.

8) Прямокутний паралелепіпед має три площини симетрії, що проходять через середини паралельних ребер.

9) Прямокутний паралелепіпед має три осі симетрії,що проходять через точки перетину діагоналей протилежних граней.

10) Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту прямокутного паралелепіпеда: S_б =Р_осн.·Н.

11) Якщо площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S₁ , S₂ , S₃ , то об’єм цього паралелепіпеда дорівнює

12) У прямокутному паралелепіпеді з вимірами a, b, c відстань між мимобіжними діагоналями суміжних бічних граней дорівнює

13) У прямокутному паралелепіпеді кут між мимобіжними діагоналями бічних граней дорівнює добутку синусів кутів нахилу кожній із цих діагоналей до площини основи.

14) Якщо ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямокутний паралелепіпед, то переріз AB₁C₁D — прямокутник.

Паралелепіпед

stepan_klimentievich — Sun, 09 Dec 2012 13:23:24 +0000

1) Призму, в основі якої лежить паралелограм, називають паралелепіпедом.

Паралелепіпед має 8 вершин, 12 ребер і 6 граней.
Кожна грань паралелепіпеда — паралелограм.
Паралельні ребра паралелепіпеда рівні.

2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.

3) Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називають протилежними. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні й рівні.

4) Центром симетрії паралелепіпеда є точка перетину його діагоналей.

5) Паралелепіпед має три пари протилежних граней.

6) Переріз паралелепіпеда площиною, паралельною бічній грані, є паралелограмом. Переріз площиною,що проходить через протилежні ребра, — паралелограм.

7) Сума квадратів довжин чотирьох діагоналей паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів довжин дванадцяти його ребер.

8) У похилому паралелепіпеді квадрат його діагоналі дорівнює сумі квадратів діагоналей граней, що мають із указаною діагоналлю паралелепіпеда спільну вершину, без квадратів трьох його вимірів.

9) Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називають прямим паралелепіпедом.

10) Бічні грані прямого паралелепіпеда —прямокутники, а основи — паралелограми.

11) Об’єм прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі бічної грані на відстань від цієї грані до паралельної їй грані.

Похила призма

stepan_klimentievich — Sun, 09 Dec 2012 12:36:16 +0000

Площа бічної поверхні похилої призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра:
V_{пох. приз.}= S_осн. · H = S_⊥ · l

Якщо бічне ребро призми утворює із суміжними сторонами основи рівні гострі кути, то воно проектується на бісектрису кута між цими сторонами основи.

Якщо бічне ребро проектується на перпендикуляр до сторони основи, то бічна грань, що проходить через цю сторону основи, є прямокутником.
Якщо площа основи похилої призми дорівнює Q, висота — H, бічне ребро — a, то площа перпендикулярного перерізу дорівнює (H·Q)/a
.
Якщо дві бічні грані трикутної призми взаємно перпендикулярні, то сума квадратів їх площ дорівнює квадрату площі третьої бічної грані.
Розглянемо основні елементи та кути трикутної похилої призми (аналогічно й для інших похилих призм). A₁T—висота бічної грані; A₁O — висота призми;
∠ A₁TO — лінійний кут двогранного кута між бічною гранню і площиною основи;

∠ A₁AO — кут нахилу бічного ребра AA₁ до площини основи;

MNK — перпендикулярний переріз;

NM, KM, NK —відстані між бічними ребрами;

∠NMK, ∠MKN, ∠MNK — відповідні лінійні кути двогранних кутів між гранями при ребрах BB₁ , CC₁ , AA₁;

KT₁ —відстань між бічним ребром CC₁ та мимобіжною стороною основи AB або A₁B₁.

Якщо основа призми ABCA₁B₁C₁— правильний трикутник ABC і бічне ребро AA₁ утворює рівні гострі кути зі сторонами основи AB і AC, то:
- BC ⊥ AA₁;
- грань BB₁C₁C — прямокутник.

Правильна призма

stepan_klimentievich — Sat, 08 Dec 2012 17:50:24 +0000

Пряму призму, в основі якої лежить правильний n-кутник, називають правильною призмою.
Усі бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.

Довжини бічного ребра й висоти призми рівні. Усі бічні ребра рівні.
Переріз правильної призми площиною, що паралельна основі призми, є правильний многокутник, який рівний многокутнику, що лежить в основі.
Діагональний переріз правильної призми є прямокутником.
Центром симетрії правильної призми за парної кількості сторін основи є точка перетину діагоналей правильної призми.
Площиною симетрії правильної призми за парної кількості сторін основи є площина,що проходить через протилежні ребра.
Правильна призма за парної кількості сторін основи має такі осі симетрії:
1. вісь симетрії, що проходить через центри основ;
2. вісь симетрії, що проходить через точки перетину діагоналей протилежних бічних граней.
Об’єм правильної призми дорівнює половині добутку площі її бічної поверхні на радіус вписаного в основу кола.

Пряма призма

stepan_klimentievich — Sat, 08 Dec 2012 17:39:13 +0000

Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основи, то призму називають прямою призмою.
Кожна бічна грань прямої призми — прямокутник.
Довжина висоти призми дорівнює довжині бічного ребра.

Діагональний переріз прямої призми є прямокутником.
Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра: S_б =Р_осн Н.
Пряма призма має площину симетрії, що проходить через середини бічних ребер.
Якщо в основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, то:
- діагоналі призми рівні між собою;
- кожна діагональ перетинає дві з трьох діагоналей, що залишились, і мимобіжна з третьою;
- чотири точки перетину, що побудували, утворюють просторовий чотирикутник (не належать одній площині), одна з його діагоналей паралельна бічному ребру призми, а друга — основі призми;
- діагоналі цього просторового чотирикутника взаємно перпен дикулярні.

Призма

stepan_klimentievich — Sat, 08 Dec 2012 17:03:11 +0000

Призмою називається многогранник, дві грані якого — плоскі рівні n-кутники, що лежать у паралельних площинах, а всі інші грані — паралелограми, площини яких паралельні деякій прямій.

Два рівні n — кутники, що лежать у паралельних площинах, називають основами (ABCD … і A₁ B₁C₁D₁…), всі інші грані називають бічними гранями (AA₁, B₁B, BB₁, C₁C…). Відрізки AB, BC, CD, … — сторони основи призми, AA₁, BB₁, CC₁ — бічні ребра призми.

Бічні ребра призми рівні.

Призму з n-кутником в основі називають n-кутною призмою (в основі трикутник — трикутна призма, в основі чотирикутник — чотирикутна призма).

Відрізок, що сполучає дві вершини, які належать одній грані, називається діагоналлю цієї грані (діагоналі основи й діагоналі бічної грані).

Відрізок, що сполучає дві вершини призми, які не належать одній грані, називається діагоналлю призми.

Кількість діагоналей n-кутної призми дорівнює n(n −3) .

Переріз призми площиною, що паралельна основі призми, є многокутник, який рівний многокутнику, що лежить в основі.

Діагональним перерізом призми називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, які не лежать в одній грані.

Усі діагональні перерізи — паралелограми.

Діагональних площин є стільки, скільки діагоналей має основа
призми.

Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки однієї основи до площини другої основи, називається висотою призми.

Площею бічної поверхні довільної призми є сума площ її бічних
граней.

Площею повної поверхні довільної призми є сума площ її бічних
граней і подвоєної площі основи: S_П = S_б +2S₀.

Сума всіх плоских кутів n-кутної призми дорівнює 720⁰(n — 2) .

Сума всіх двогранних кутів n-кутної призми дорівнює 360⁰(n — 1) .

Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту призми.

V = S₀H