AB — похила до площини p.
Ap ∈ , Bp ∉ , AC — проекція похилої AB на площину p. AD — довільна пряма площини p, BC p ⊥ , ∠BAC = α, ∠CAD = β, ∠BAD = γ,
тоді cosγ = cosα*cosβ

Теорема про три синуси

Синус кута, утвореного прямою, яка лежить у площині однієї із граней двогранного кута, з іншою гранню, дорівнює добутку синуса двогранного кута на синус кута, який утворює ця пряма з ребром двогранного кута.

Тобто якщо ∠BAC— лінійний кут двогранного кута з ребром AD і ∠BAC = α, ∠BDA — кут між похилою BD та ребром AD і ∠BDA = β, ∠BDC — кут між похилою BD та площиною і ∠BDC = γ, то sinγ = sinα*sinβ

Теорема синусів для тригранного кута

Якщо α, β, γ — плоскі кути тригранного кута, A, B, C — протилежні їм двогранні кути, то виконується рівність

Друга теорема косинусів для тригранного кута

Якщо A, B, C — двогранні кути тригранного кута, а α — протилежний C двогранний кут, то виконується рівність

Промені SA, SB, SC, SK,…, називають ребрами многогранного кута, плоскі кути ASB, BSC, KSA,…, називають гранями многогранного кута, а точку S — вершиною многогранного кута.

Залежно від кількості граней розрізняють тригранні, чотиригранні, …, n гранні кути.

Кутовими елементами многогранного кута є його плоскі і двогранні кути (ASBC, BSAK … .)

Многогранний кут розбиває простір на дві області — внутрішню
і зовнішню. Об’єднання многогранного кута з його внутрішньою областю також називають многогранним кутом.

Многогранний кут називається опуклим, якщо він розміщений з одного боку від площини кожної його грані.

Мірою многогранного кута називають різницю між сумою мір
усіх його двогранних кутів і сумою мір внутрішніх кутів того многокутника, який утворюється в перерізі кута площиною, що перетинає всі його грані.

Властивості многогранного кута:

• міра многогранного кута визначається даним кутом однозначно;
• міра многогранного кута визначається додатним числом;
• міра многогранного кута адитивна.

Многогранний кут називають правильним, якщо між собою рівні всі його двогранні кути,а також рівні всі його плоскі кути.
Тригранний кут, грані якого перпендикулярні одна одній, називають ортогональним тригранним кутом (це окремий випадок правильного многогранного кута).
Три взаємно перпендикулярні площини ділять весь простір на вісім ортогональних тригранних кутів — октантів.

Розглянемо тригранний кут SABC, позначимо його ребра SA,
SB, SC відповідно через a, b, c і відповідні їм двогранні кути CSAB,
ASBC, BSCA — через ∠ A, ∠ B, ∠C відповідно, а протилежні плоскі
кути CSB, ASC, ASB — через ∠α, ∠β, ∠γ відповідно.

Властивості тригранного кута

1. Необхідна й достатня умова існування тригранного кута: Тригранний кут із заданими плоскими кутами α, β, γ існує тоді й тільки тоді, коли виконуються нерівності: |β-γ| < α <β + γ; α + β + γ < 360° .
2. Ознаки рівності тригранних кутів:
   1. а) за двома плоскими кутами й двогранним кутом між ними;
   2. б) за трьома плоскими кутами;
   3. в) за трьома двогранними кутами;
   4. г) за плоским кутом та двома прилеглими двогранними кутами.
3. У тригранному куті проти рівних плоских кутів лежать рівні двогранні кути, і навпаки.
4. Якщо всі плоскі кути тригранного кута є рівними, то рівні й усі його двогранні кути, і навпаки.
5. Сума двогранних кутів тригранного кута більша ніж 180°.
6. Якщо всі двогранні кути тригранного кута гострі, то й усі плоскі кути тригранного кута також гострі.
7. Якщо бісектриси двох плоских кутів тригранного кута перпендикулярні, то бісектриса його третього плоского кута перпендикулярна кожній із перших двох бісектрис.
8. Бісектриси двогранних кутів тригранного кута перетинаються по одному променю.

На ребрі двогранного кута вибираємо точку C і через цю точку в його гранях проводимо промені CA і CB перпендикулярно до ребра p.

Кут ACB, утворений цими променями, називають лінійним кутом цього двогранного кута.

Міра лінійного кута не залежить від вибору його вершини (точка C) на ребрі двогранного кута.

За міру двогранного кута приймають міру його лінійного кута.

З двох двогранних кутів уважають більшим той, лінійний кут якого більший.

Міра двогранного кута знаходиться в межах від 0° до 180°.

Вертикальні двогранні кути рівні.

Двогранні кути з відповідно паралельними й однаково (протилежно) направленими гранями рівні.

Усі прямі двогранні кути рівні.

Бісектриса кожного лінійного кута належить бісектрисі заданого двогранного кута.

Бісектриса двогранного кута є геометричним місцем точок, що лежать усередині цього кута й рівновіддалені від площин його граней.

Кут між площинами дорівнює куту між прямими, що перпендикулярні цим площинам, і знаходиться в межах від 0° до 90°.

Кут між паралельними площинами дорівнює 0°.

BC — перпендикулярдо площини α,
AB — похила до площини α, BC⊥α,
AC — проекція похилої AB на площину α,
∠BAC = ϕ — кут між прямою AB і площиною α, 0°<90°< ϕ .

Кут між похилою і площиною найменший з усіх кутів, які похила
утворює з прямими, проведеними на площині через основу похилої. Якщо точка C є проекцією точки D на площину трикутника ABC,то площа трикутника ABD дорівнює S cosα, де S — площа трикутника ABC,а α — кут між площинами ABC і ABD.

Кут між прямими в просторі не фігура, а кутова міра, величина. Якщо прямі паралельні або збігаються, то кут між ними дорівнює 0°.

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються й паралельні даним мимобіжним прямим. Величина кута між мимобіжними прямими не перевищує 90°.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між
ними дорівнює 90°.